一、可數集的判定

（1） 自然數集、有理數集是可數集；（2）可數個可數集的并集是可數集；（3）有限個可數集的笛卡爾乘積是可數集；（4）不可數集是存在的，直線上任何區間不可數.


(資料圖片僅供參考)

例1.直線上任何非空的開集是可數集嗎？

不是。在實數直線上，存在許多非空的開集是不可數的。例如，開區間 是一個非空的開集，但其元素個數是連續的實數個，是不可數的。

例2. 任何一個區間中無理數全體可數嗎？

不是

例3. 系數為有理數的多項式全體是一個可數集.

例4. 直線上互不相交的開區間族至多可數個.

開區間的長度大于 0, 故必含有有理數, 在每一個開區間內取出一個有理數. 因為開區間互不相交, 所以取出的有理數都不相等, 從而這些有理數構成 的一個子集. 又 是可列集, 故這樣的開區間至多有可列個.

例5. 直線上任何一個單調函數的不連續點至多可數個.

二、外測度、測度及其基本性質

（1）理解外測度概念，會計算簡單集合的外測度.（2）理解可測集、測度概念，會計算簡單集合的測度.（3）會利用可測集定義、性質證明集合的可測性.

例6.從外測度定義出發，計算 中下面集合的外測度

例7.問 中集 是否可測？若可測，計算其測度

例8.設 ，并且對任意 0" data-formula-type="inline-equation">，存在開集 ，使得 ，證明 可測

三、積分論（Lebesgue積分概念與性質）

例9. 幾乎處處相等的可測函數L-可積性相同嗎？

相同

例10. 常函數一定是Lebesgue可積函數嗎？

不一定

例11. 測度有限集上有界可測函數Lebesgue可積嗎？

是

例12. 何時在 上Lebesgue可積？ 何時在 上 Lebesgue可積？

, 1" data-formula-type="inline-equation">

例13. 在 上Lebesgue可積嗎？函數 呢？

可積，可積

例14.成立嗎？

例15.設，其中 ，證明 .

例16.設函數 ，問是否在 上Riemann可積？ 是否在[0,1] 上Lebesgue可積？若可積求出積分值.

例17. 設 ，令, 證明 在 內可導，并且可在積分號下求導.

例18. 計算極限，并說明理由,其中 為一給定常數.

例19.設是有界閉區間上的Riemann可積函數列，又設在上一致收斂于函數,證明是上的Riemann可積函數

提示：證明在上有界，并且幾乎處處連續。

例20.Lebesgue 積分的本質是什么？

Riemann積分是分割定義域（橫著分割），Lebesgue積分是分割值域（豎著分割）。

是的完備化空間

證明 作為 的子空間不是完備的.為此只需證明 不是閉子空間.

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